đặt (X, L) là một hệ thống cơ học có n bậc tự do. Tại đây, X là không gian cấu hình và L = L (t, q, v) Lagrange là một hàm số giá trị thực trơn thoả mãn q ∈ {\displaystyle \in } X và v là một vectơ tốc độ n chiều (cho ai quen thuộc với hình học vi phân thì X là một đa tạp trơn, và L : Rt x TX -> R sao cho TX là chùm tiếp tuyến của X)

đặt P (a, b, xa ,xb ) là tập hợp những đường trơn q : [a, b] -> X sao cho q(a) = xa và q(b) = xb . Hàm số hành động vật lý S : P (a, b, xa, xb) -> R được định nghĩa là

S [q] = ∫ a b L ( t , q ( t ) , q ′ ( t ) ) d t {\displaystyle \int _{a}^{b}L(t,q(t),q'(t))dt}

một đường q ∈ {\displaystyle \in } P (a, b, xa, xb) là một điểm uốn của S khi và chỉ khi

∂ L ∂ q i {\displaystyle {\partial L \over \partial q^{i}}} (t, q(t), q'(t)) - d d t {\displaystyle {d \over dt}} ∂ L ∂ q ′ i {\displaystyle {\partial L \over \partial q'^{i}}} (t, q(t), q'(t)) = 0, i = 1, ..., n

ở đây q'(t) là đạo hàm thời gian của q(t). Khi ta nói đến điểm uốn, ta ám chỉ rằng một điểm uốn của S đối với bất cứ rung động nhỏ nào trong q. Xem chứng minh dưới đây để thêm chi tiết cụ thể.

Nguồn gốc của phương trình Euler-Lagrange một chiều

nguồn gốc của phương trình Euler-Lagrange một chiều là một trong những chứng minh kinh điển trong toán học. Nó dựa vào định lý căn bản của giải tích

ta muốn tìm một hàm số f thoả mãn những điều kiện giới hạn f(a) = A và f(b) = B và sẽ cực trị hoá hàm số:

J = ∫ a b L ( x , f ( x ) , f ′ ( x ) ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}L(x,f(x),f'(x))dx}

ta giả thiết rằng L khả vi liên tục hai lần.[4] Một giả thiết lỏng lẻo hơn có thể được sử dụng, nhưng chứng minh sẽ trở nên khó khăn hơn.

nếu f cực trị hoá chủ thể hàm số đến những điều kiện giới hạn, thì bất cứ rung động nhỏ nào của f miễn là bảo toàn những giá trị giới hạn sẽ phải hoặc tăng J (nếu f là một hàm cực tiểu) hoặc giảm J (nếu f là một hàm cực đại)

đặt g ε {\displaystyle \varepsilon } (x) = f (x) + ε {\displaystyle \varepsilon } η {\displaystyle \eta } (x) là kết quả của một rung động ε η {\displaystyle \varepsilon \eta } (x) của f mà ε {\displaystyle \varepsilon } là nhỏ và η {\displaystyle \eta } (x) là một hàm số khả vi thoả mãn η ( a ) = η ( b ) = 0 {\displaystyle \eta (a)=\eta (b)=0} sau đó định nghĩa:

J ε {\displaystyle \varepsilon } = ∫ a b L {\displaystyle \int _{a}^{b}L} (x, g ε {\displaystyle \varepsilon } (x), g' ε {\displaystyle \varepsilon } (x))dx = ∫ a b L {\displaystyle \int _{a}^{b}L} ε {\displaystyle \varepsilon } dx

với L ε {\displaystyle \varepsilon } = L(x, g ε {\displaystyle \varepsilon } (x), g' ε {\displaystyle \varepsilon } (x))

giờ, ta muốn tính đạo hàm toàn phần của J ε {\displaystyle \varepsilon } với cân nhắc đến ε {\displaystyle \varepsilon }

d L ε d ε {\displaystyle {dL_{\varepsilon } \over d\varepsilon }} = d x d ε {\displaystyle {dx \over d\varepsilon }} ∂ L ε ∂ x {\displaystyle \partial L_{\varepsilon } \over \partial x} + d g ε d ε {\displaystyle {dg_{\varepsilon } \over d\varepsilon }} ∂ L ε ∂ g ε {\displaystyle \partial L_{\varepsilon } \over \partial g_{\varepsilon }} + d g ε ′ d ε {\displaystyle {dg'_{\varepsilon } \over d\varepsilon }} ∂ L ε ∂ g ε ′ {\displaystyle \partial L_{\varepsilon } \over \partial g'_{\varepsilon }} = d g ε d ε {\displaystyle {dg_{\varepsilon } \over d\varepsilon }} ∂ L ε ∂ g ε {\displaystyle \partial L_{\varepsilon } \over \partial g_{\varepsilon }} + d g ε ′ d ε {\displaystyle {dg'_{\varepsilon } \over d\varepsilon }} ∂ L ε ∂ g ε ′ {\displaystyle \partial L_{\varepsilon } \over \partial g'_{\varepsilon }} = η {\displaystyle \eta } (x) ∂ L ε ∂ g ε {\displaystyle \partial L_{\varepsilon } \over \partial g_{\varepsilon }} + η {\displaystyle \eta } '(x) ∂ L ε ∂ g ε ′ {\displaystyle \partial L_{\varepsilon } \over \partial g'_{\varepsilon }}

với dữ kiện rằng x không phụ thuộc vào ε {\displaystyle \varepsilon } tức là d x d ε = 0 {\displaystyle {dx \over d\varepsilon }=0}

cho nên

d J ε d ε {\displaystyle {dJ_{\varepsilon } \over d\varepsilon }} = ∫ a b [ η ( x ) ∂ L ε ∂ g ε + η ′ ( x ) ∂ L ε ∂ g ε ′ ] d x {\displaystyle \int _{a}^{b}\left[\eta (x){\partial L_{\varepsilon } \over \partial g_{\varepsilon }}+\eta '(x){\partial L_{\varepsilon } \over \partial g'_{\varepsilon }}\right]dx}

khi ε {\displaystyle \varepsilon } = 0 ta có g ε = f {\displaystyle g_{\varepsilon }=f} và L ε = L ( x , f ( x ) , f ′ ( x ) ) {\displaystyle L_{\varepsilon }=L(x,f(x),f'(x))} và J ε {\displaystyle J_{\varepsilon }} có một giá trị cực trị, sao cho

d J ε d ε | ε = 0 {\displaystyle {dJ_{\varepsilon } \over d\varepsilon }{\bigg |}_{\varepsilon =0}} = ∫ a b [ η ( x ) ∂ L ∂ f + η ′ ( x ) ∂ L ∂ f ′ ] d x = 0 {\displaystyle \int _{a}^{b}\left[\eta (x){\partial L \over \partial f}+\eta '(x){\partial L \over \partial f'}\right]dx=0}

bước tiếp theo là để sử dụng tích phân từng phần lên số hạng thứ hai của hàm lấy tích phân, sẽ được

∫ a b [ ∂ L ∂ f − d d x ∂ L ∂ f ′ ] η ( x ) d x + [ η ( x ) ∂ L ∂ f ′ ] a b = 0 {\displaystyle \int _{a}^{b}\left[{\partial L \over \partial f}-{d \over dx}{\partial L \over \partial f'}\right]\eta (x)dx+\left[\eta (x){\partial L \over \partial f'}\right]_{a}^{b}=0}

sử dụng những điều kiện giới hạn η ( a ) = η ( b ) = 0 {\displaystyle \eta (a)=\eta (b)=0}

∫ a b [ ∂ L ∂ f − d d x ∂ L ∂ f ′ ] η ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int _{a}^{b}\left[{\partial L \over \partial f}-{d \over dx}{\partial L \over \partial f'}\right]\eta (x)dx=0}

áp dụng định lý căn bản của giải tích ta sẽ được phương trình Euler-Lagrange

∂ L ∂ f − d d x ∂ L ∂ f ′ = 0 {\displaystyle {\partial L \over \partial f}-{d \over dx}{\partial L \over \partial f'}=0}

Nguồn gốc khác của phương trình Euler-Lagrange một chiều

cho một hàm số

J = ∫ a b L ( t , y ( t ) , y ′ ( t ) ) d t {\displaystyle J=\int _{a}^{b}L(t,y(t),y'(t))dt}

trên C1([a, b]) với những điều kiện giới hạn y(a) = A và y(b) = B ta tiếp tục bằng cách ước lượng đường cong cực trị bởi một một đường khấp khuỷu có n đoạn thẳng và đạt đến giới hạn khi số lượng những đoạn thẳng tăng lớn tuỳ ý.

chia khoảng [a, b] thành n đoạn thẳng bằng nhau với những điểm cuối t0 = a, t1, t2, ... , tn = b và đặt Δ t = t k − t k − 1 {\displaystyle \Delta t=t_{k}-t_{k-1}}

thay vì một hàm số trơn y(t), ta cân nhắc đường khấp khuỷu có những đỉnh (t0, y0), ... ,(tn, yn) với y0 = A và yn = B. Theo đó, hàm số của ta trở thành một hàm số thực của n - 1 biến số

J ( y 1 , . . . , y n − 1 ) ≈ ∑ k = 0 n − 1 L ( t k , y k , y k + 1 − y k Δ t ) Δ t {\displaystyle J(y_{1},...,y_{n-1})\approx \sum _{k=0}^{n-1}L(t_{k},y_{k},{y_{k+1}-y_{k} \over \Delta t})\Delta t}

những cực trị của hàm số mới này sẽ được định nghĩa trên những điểm rời rạc t0, ... , tn tương ứng với những điểm mà

∂ J ( y 1 , . . . , y n ) ∂ y m = 0 {\displaystyle {\partial J(y_{1},...,y_{n}) \over \partial y_{m}}=0}

ước lượng đạo hàm riêng này ta được

∂ J ∂ y m = L y ( t m , y m , y m + 1 − y m Δ t ) Δ t + L y ′ ( t m − 1 , y m − 1 , y m − y m − 1 Δ t ) − L y ′ ( t m , y m , y m + 1 − y m Δ t ) {\displaystyle {\partial J \over \partial y_{m}}=L_{y}(t_{m},y_{m},{y_{m+1}-y_{m} \over \Delta t})\Delta t+L_{y'}(t_{m-1},y_{m-1},{y_{m}-y_{m-1} \over \Delta t})-L_{y'}(t_{m},y_{m},{y_{m+1}-y_{m} \over \Delta t})}

chia phương trình trên cho Δ t {\displaystyle \Delta t} ta được

∂ J ∂ y m Δ t = L y ( t m , y m , y m + 1 − y m Δ t ) − 1 Δ t [ L y ′ ( t m , y m , y m + 1 − y m Δ t ) − L y ′ ( t m − 1 , y m − 1 , y m − y m − 1 Δ t ) ] {\displaystyle {\partial J \over \partial y_{m}\Delta t}=L_{y}(t_{m},y_{m},{y_{m+1}-y_{m} \over \Delta t})-{1 \over \Delta t}[L_{y'}(t_{m},y_{m},{y_{m+1}-y_{m} \over \Delta t})-L_{y'}(t_{m-1},y_{m-1},{y_{m}-y_{m-1} \over \Delta t})]}

và lấy giới hạn tại Δ t {\displaystyle \Delta t} -> 0 của vế tay phải của biểu thức này, ta được

L y − d d t L y ′ = 0 {\displaystyle L_{y}-{d \over dt}L_{y'}=0}

vế tay trái của biểu thức trên là đạo hàm δ J δ y {\displaystyle \delta J \over \delta y} của hàm số J

một điều kiện cần thiết cho một đạo hàm có một cực trị trên hàm số nào đó là rằng đạo hàm của nó tại hàm số đó sẽ biến mất, đúng như miêu tả bởi biểu thức cuối cùng ở trên